30 Ejemplos Resueltos De Factor Común Por Agrupación De Términos

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¡Hola, cracks de las matemáticas! ¿Listos para dominar el factor común por agrupación de términos? Si alguna vez te has sentido un poco perdido con este tema, ¡no te preocupes! En este artículo, vamos a sumergirnos en 30 ejemplos resueltos que te ayudarán a entender y aplicar esta técnica como un verdadero pro. Vamos a desglosar cada paso, desde la identificación de los términos comunes hasta la factorización final. Así que, prepárense para un viaje lleno de ejercicios prácticos, explicaciones claras y trucos que harán que este tema sea pan comido. ¡Empecemos!

¿Qué es el Factor Común por Agrupación de Términos?

Antes de lanzarnos a los ejemplos, es crucial que entendamos bien qué significa factorizar por agrupación de términos. En esencia, esta técnica se utiliza cuando no hay un factor común en todos los términos de un polinomio, pero sí podemos encontrar factores comunes en grupos más pequeños de términos. Suena un poco abstracto, ¿verdad? Pero no se preocupen, con los ejemplos que veremos, todo quedará súper claro.

El factor común por agrupación de términos es una técnica algebraica utilizada para simplificar expresiones polinómicas que no tienen un factor común en todos sus términos, pero sí en grupos de ellos. Esta técnica es especialmente útil cuando tenemos polinomios con cuatro o más términos. En lugar de buscar un factor que divida a todos los términos a la vez, dividimos el polinomio en grupos más pequeños (generalmente de dos términos cada uno) y buscamos factores comunes dentro de cada grupo. Una vez que hemos factorizado cada grupo, esperamos encontrar un factor común que involucre a los grupos factorizados, lo que nos permitirá completar la factorización del polinomio original.

¿Por qué es importante aprender esto? Bueno, la factorización es una herramienta fundamental en álgebra. Nos permite simplificar expresiones, resolver ecuaciones y entender mejor las relaciones entre diferentes variables. Dominar la factorización por agrupación te abrirá puertas en temas más avanzados, como la resolución de ecuaciones cuadráticas y la manipulación de funciones polinómicas. ¡Así que vale la pena dedicarle tiempo y esfuerzo!

Imaginen que tienen un rompecabezas con muchas piezas. En lugar de tratar de encajarlas todas a la vez, las agrupan por colores o formas. De manera similar, en la factorización por agrupación, dividimos el polinomio en partes más manejables para encontrar los factores comunes más fácilmente. Este método no solo simplifica el proceso de factorización, sino que también ayuda a desarrollar el pensamiento lógico y la habilidad para identificar patrones en las expresiones algebraicas. ¡Así que, a afilar esos cerebros matemáticos!

Paso a Paso: Cómo Factorizar por Agrupación de Términos

Para que no quede ninguna duda, vamos a repasar los pasos clave para factorizar por agrupación de términos. ¡Tomen nota!

  1. Agrupar los términos: El primer paso es agrupar los términos del polinomio en pares (o tríos, dependiendo del caso) que compartan un factor común. La clave aquí es observar bien la expresión y buscar combinaciones que tengan sentido. No siempre hay una única forma correcta de agrupar, pero algunas agrupaciones facilitarán más el proceso que otras.

  2. Factorizar cada grupo: Una vez que tenemos los grupos, factorizamos el factor común de cada uno. Esto significa encontrar el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes y las variables que se repiten en cada grupo, y luego dividir cada término del grupo por ese factor común. El resultado será un factor común multiplicado por un nuevo polinomio dentro de un paréntesis.

  3. Identificar el factor común compuesto: Aquí viene la magia. Si hemos hecho bien los pasos anteriores, deberíamos observar que ambos grupos factorizados comparten un factor común, que generalmente es un binomio (una expresión con dos términos). Este factor común compuesto es la clave para la factorización final.

  4. Factorizar el factor común compuesto: Finalmente, factorizamos el factor común compuesto de toda la expresión. Esto significa escribir el factor común compuesto una vez, y luego multiplicar por un nuevo paréntesis que contenga los factores que quedaron de cada grupo original.

  5. Verificar la solución: Para asegurarnos de que no hemos cometido errores, podemos multiplicar los factores que obtuvimos y verificar si el resultado es el polinomio original. Si coincide, ¡felicidades! Hemos factorizado correctamente. Si no, ¡a revisar los pasos y buscar el error!

Estos pasos pueden parecer un poco abstractos ahora, pero con los ejemplos que vamos a ver, todo se volverá mucho más claro. Recuerden, la práctica hace al maestro. Cuanto más practiquen, más rápido y fácil les resultará factorizar por agrupación. ¡Así que no se rindan!

30 Ejemplos Resueltos de Factor Común por Agrupación

¡Llegó la hora de la verdad! Aquí tienen 30 ejemplos resueltos de factor común por agrupación, cada uno con su explicación detallada. ¡Vamos a ello!

Ejemplos 1-10: Nivel Básico

En esta primera sección, vamos a empezar con ejemplos sencillos para que se familiaricen con la técnica. ¡No se confíen, prestar atención es clave!

Ejemplo 1: ax + bx + ay + by

  • Agrupamos: (ax + bx) + (ay + by)
  • Factorizamos cada grupo: x(a + b) + y(a + b)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (a + b)(x + y)

Ejemplo 2: am - bm + an - bn

  • Agrupamos: (am - bm) + (an - bn)
  • Factorizamos cada grupo: m(a - b) + n(a - b)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (a - b)(m + n)

Ejemplo 3: x² + xy + ax + ay

  • Agrupamos: (x² + xy) + (ax + ay)
  • Factorizamos cada grupo: x(x + y) + a(x + y)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (x + y)(x + a)

Ejemplo 4: 3m² - 6mn + 4m - 8n

  • Agrupamos: (3m² - 6mn) + (4m - 8n)
  • Factorizamos cada grupo: 3m(m - 2n) + 4(m - 2n)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (m - 2n)(3m + 4)

Ejemplo 5: 2x² - 3xy - 4x + 6y

  • Agrupamos: (2x² - 3xy) + (-4x + 6y)
  • Factorizamos cada grupo: x(2x - 3y) - 2(2x - 3y)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (2x - 3y)(x - 2)

Ejemplo 6: 2x² + 2xy + 3x + 3y

  • Agrupamos: (2x² + 2xy) + (3x + 3y)
  • Factorizamos cada grupo: 2x(x + y) + 3(x + y)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (x + y)(2x + 3)

Ejemplo 7: 6ax + 3a + 1 + 2x

  • Agrupamos: (6ax + 3a) + (1 + 2x) → (6ax + 2x) + (3a + 1) [Reorganizando para facilitar la factorización]
  • Factorizamos cada grupo: 2x(3a + 1) + 1(3a + 1)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (3a + 1)(2x + 1)

Ejemplo 8: 3x - 2y - 2bx + 3by

  • Agrupamos: (3x + 3by) + (-2y - 2bx) → (3x + 3by) - (2y + 2bx) [Reorganizando]
  • Factorizamos cada grupo: 3(x + by) - 2(y + bx) [Esto no parece funcionar directamente, reagrupamos]
  • Reagrupamos: (3x - 2bx) + (-2y + 3by)
  • Factorizamos cada grupo: x(3 - 2b) + y(-2 + 3b) → x(3 - 2b) - y(2 - 3b)
  • Identificamos que (3 - 2b) y (-2 + 3b) son lo mismo: (3 - 2b) = -( -3 + 2b) = -(2b - 3). Esto es más complejo y parece haber un error en el planteamiento original o una necesidad de reorganización más compleja.

Nota: Este ejemplo requiere una revisión cuidadosa ya que la simple agrupación inicial no lleva a una factorización directa. Es posible que haya un error en el problema original o que se necesite una manipulación algebraica más avanzada.

Ejemplo 9: ab - 2a + b - 2

  • Agrupamos: (ab - 2a) + (b - 2)
  • Factorizamos cada grupo: a(b - 2) + 1(b - 2)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (b - 2)(a + 1)

Ejemplo 10: 3x² - 3bx + xy - by

  • Agrupamos: (3x² - 3bx) + (xy - by)
  • Factorizamos cada grupo: 3x(x - b) + y(x - b)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (x - b)(3x + y)

¡Muy bien! Ya hemos visto los primeros 10 ejemplos. ¿Cómo se sienten? Espero que estén empezando a ver el patrón. Recuerden, la clave está en identificar los grupos correctos y factorizar con cuidado. ¡Sigamos adelante!

Ejemplos 11-20: Nivel Intermedio

Ahora vamos a subir un poco la dificultad. En esta sección, veremos ejemplos que requieren un poco más de ingenio y manipulación algebraica. ¡A poner esos cerebros a trabajar!

Ejemplo 11: 4a³ + 12a² + 3a + 9

  • Agrupamos: (4a³ + 12a²) + (3a + 9)
  • Factorizamos cada grupo: 4a²(a + 3) + 3(a + 3)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (a + 3)(4a² + 3)

Ejemplo 12: 6x² - 9ax - 4bx + 6ab

  • Agrupamos: (6x² - 9ax) + (-4bx + 6ab)
  • Factorizamos cada grupo: 3x(2x - 3a) - 2b(2x - 3a)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (2x - 3a)(3x - 2b)

Ejemplo 13: 20x²y - 5xy² + 8xz - 2yz

  • Agrupamos: (20x²y - 5xy²) + (8xz - 2yz)
  • Factorizamos cada grupo: 5xy(4x - y) + 2z(4x - y)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (4x - y)(5xy + 2z)

Ejemplo 14: 6m - 9n + 21nx - 14mx

  • Agrupamos: (6m - 14mx) + (-9n + 21nx)
  • Factorizamos cada grupo: 2m(3 - 7x) - 3n(3 - 7x)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (3 - 7x)(2m - 3n)

Ejemplo 15: a²x² - 3bx² + a²y² - 3by²

  • Agrupamos: (a²x² - 3bx²) + (a²y² - 3by²)
  • Factorizamos cada grupo: x²(a² - 3b) + y²(a² - 3b)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (a² - 3b)(x² + y²)

Ejemplo 16: 3am - 2bm - 2an + 3bn

  • Agrupamos: (3am + 3bn) + (-2bm - 2an) → 3a(m - n) -2b(m - n)
  • Reorganizamos y agrupamos: (3am - 2an) + (-2bm + 3bn)
  • Factorizamos cada grupo: a(3m - 2n) + b(-2m + 3n)
  • Observamos que (3m - 2n) y (-2m + 3n) son opuestos, entonces: a(3m - 2n) - b(2m - 3n)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (3m - 2n)(a - b)

Ejemplo 17: 15x² + 10xz - 3xy - 2yz

  • Agrupamos: (15x² + 10xz) + (-3xy - 2yz)
  • Factorizamos cada grupo: 5x(3x + 2z) - y(3x + 2z)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (3x + 2z)(5x - y)

Ejemplo 18: 3x³ + 6x² + 4x + 8

  • Agrupamos: (3x³ + 6x²) + (4x + 8)
  • Factorizamos cada grupo: 3x²(x + 2) + 4(x + 2)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (x + 2)(3x² + 4)

Ejemplo 19: 2a²b + 2abc + 3ab + 3bc

  • Agrupamos: (2a²b + 2abc) + (3ab + 3bc)
  • Factorizamos cada grupo: 2ab(a + c) + 3b(a + c)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (a + c)(2ab + 3b) → b(a + c)(2a + 3)

Ejemplo 20: 2x³ - 4x² + 3x - 6

  • Agrupamos: (2x³ - 4x²) + (3x - 6)
  • Factorizamos cada grupo: 2x²(x - 2) + 3(x - 2)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (x - 2)(2x² + 3)

¡Genial! Ya hemos superado el nivel intermedio. ¿Ven cómo la práctica hace la diferencia? A medida que resuelven más ejemplos, se sentirán más cómodos y seguros con la técnica. ¡Vamos por el nivel avanzado!

Ejemplos 21-30: Nivel Avanzado

¡Aquí vamos con los ejemplos más desafiantes! En esta sección, veremos polinomios que requieren un poco más de manipulación y creatividad para factorizar. ¡Prepárense para el reto!

Ejemplo 21: x² + ax + bx + ab

  • Agrupamos: (x² + ax) + (bx + ab)
  • Factorizamos cada grupo: x(x + a) + b(x + a)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (x + a)(x + b)

Ejemplo 22: mn + nx - n² - mx

  • Agrupamos: (mn - n²) + (nx - mx)
  • Factorizamos cada grupo: n(m - n) + x(n - m)
  • Observamos que (m - n) y (n - m) son opuestos, entonces: n(m - n) - x(m - n)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (m - n)(n - x)

Ejemplo 23: 2x² - 6xy + 4x - 12y

  • Agrupamos: (2x² - 6xy) + (4x - 12y)
  • Factorizamos cada grupo: 2x(x - 3y) + 4(x - 3y)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (x - 3y)(2x + 4) → 2(x - 3y)(x + 2)

Ejemplo 24: 3a² - 6ab + 4a - 8b

  • Agrupamos: (3a² - 6ab) + (4a - 8b)
  • Factorizamos cada grupo: 3a(a - 2b) + 4(a - 2b)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (a - 2b)(3a + 4)

Ejemplo 25: 2m²n - 4mn² + 3m - 6n

  • Agrupamos: (2m²n - 4mn²) + (3m - 6n)
  • Factorizamos cada grupo: 2mn(m - 2n) + 3(m - 2n)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (m - 2n)(2mn + 3)

Ejemplo 26: abx - aby + acx - acy

  • Agrupamos: (abx - aby) + (acx - acy)
  • Factorizamos cada grupo: ab(x - y) + ac(x - y)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (x - y)(ab + ac) → a(x - y)(b + c)

Ejemplo 27: 6x³ + 4x² - 9x - 6

  • Agrupamos: (6x³ + 4x²) + (-9x - 6)
  • Factorizamos cada grupo: 2x²(3x + 2) - 3(3x + 2)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (3x + 2)(2x² - 3)

Ejemplo 28: 4x³ - 6x² - 6x + 9

  • Agrupamos: (4x³ - 6x²) + (-6x + 9)
  • Factorizamos cada grupo: 2x²(2x - 3) - 3(2x - 3)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (2x - 3)(2x² - 3)

Ejemplo 29: 12m³ + 18m² - 10m - 15

  • Agrupamos: (12m³ + 18m²) + (-10m - 15)
  • Factorizamos cada grupo: 6m²(2m + 3) - 5(2m + 3)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (2m + 3)(6m² - 5)

Ejemplo 30: 15a²x - 10a²y - 3bx + 2by

  • Agrupamos: (15a²x - 10a²y) + (-3bx + 2by)
  • Factorizamos cada grupo: 5a²(3x - 2y) - b(3x - 2y)
  • Factorizamos el factor común compuesto: (3x - 2y)(5a² - b)

¡Felicidades! Han llegado al final de los 30 ejemplos resueltos. ¡Son unos campeones! Espero que esta guía les haya sido de gran ayuda para comprender y dominar el factor común por agrupación de términos.

Consejos Adicionales para el Éxito

Antes de despedirnos, quiero compartirles algunos consejos adicionales que les ayudarán a tener aún más éxito al factorizar por agrupación de términos:

  • Practiquen, practiquen, practiquen: Como en todo en matemáticas, la práctica es fundamental. Resuelvan tantos ejercicios como puedan para afianzar la técnica y desarrollar su intuición.
  • Observen los patrones: A medida que resuelvan más ejercicios, empezarán a notar patrones y trucos que les facilitarán la factorización. ¡Presten atención a los signos, los coeficientes y las variables!
  • No tengan miedo de equivocarse: Los errores son parte del proceso de aprendizaje. Si se equivocan, no se desanimen. Analicen dónde se equivocaron, corrijan y sigan adelante.
  • Verifiquen sus respuestas: Siempre que terminen de factorizar, multipliquen los factores que obtuvieron para verificar si el resultado es el polinomio original. Esto les ayudará a detectar errores y asegurarse de que su respuesta es correcta.
  • Consulten recursos adicionales: Si tienen dudas o necesitan más ejemplos, no duden en consultar libros de texto, videos en línea o preguntar a su profesor. ¡Hay muchos recursos disponibles para ayudarlos!

Conclusión

El factor común por agrupación de términos es una herramienta poderosa en álgebra que les permitirá simplificar expresiones y resolver problemas más complejos. Con práctica y dedicación, pueden dominar esta técnica y sentirse seguros al enfrentarse a cualquier desafío matemático. ¡Espero que estos 30 ejemplos resueltos les hayan dado la confianza y el conocimiento que necesitan para triunfar!

¡Sigan practicando y nunca dejen de aprender! ¡Nos vemos en el próximo artículo!