Análise Detalhada Do Par Ordenado (3, −1) E Da Equação 2x − 5y = −11

Ei, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar de cabeça em um problema matemático super interessante que envolve o par ordenado (3, −1) e a equação 2x − 5y = −11. Preparem-se para uma jornada detalhada onde vamos explorar cada aspecto dessa questão, desde a verificação da solução até a interpretação geométrica no plano cartesiano. Se você sempre teve dúvidas sobre como lidar com pares ordenados e equações lineares, este artigo é para você! Vamos juntos desvendar todos os segredos por trás dessa combinação matemática.

Verificação da Solução

Primeiramente, vamos nos certificar de que o par ordenado (3, −1) realmente satisfaz a equação 2x − 5y = −11. Para isso, vamos substituir os valores de x e y na equação e verificar se a igualdade se mantém. Lembrem-se, em um par ordenado (x, y), o primeiro valor representa o x (a abscissa) e o segundo valor representa o y (a ordenada). Então, no nosso caso, temos x = 3 e y = −1.

Substituindo na equação, temos:

2*(3) − 5*(−1) = −11

Vamos resolver isso passo a passo:

6 + 5 = −11

11 = −11

Atenção! Detectamos um problema aqui. O resultado da nossa substituição não corresponde à igualdade original. Obtivemos 11 = -11, o que é claramente falso. Isso significa que o par ordenado (3, -1) não é uma solução para a equação 2x − 5y = −11. É crucial que façamos essa verificação inicial para garantir que estamos trabalhando com a informação correta. Erros podem acontecer, e é sempre bom confirmar nossos resultados!

Agora, podemos nos perguntar: por que essa substituição não funcionou? Será que erramos em algum passo? Ou será que o par ordenado simplesmente não faz parte do conjunto de soluções dessa equação? Para entender melhor, vamos revisitar a substituição e garantir que não houve nenhum erro de cálculo. A matemática, como um bom detetive, nos ensina a ser minuciosos e a verificar cada detalhe.

Revisando a substituição:

2*(3) − 5*(−1) = 6 + 5 = 11

De fato, o cálculo está correto. A substituição de x = 3 e y = -1 na equação resulta em 11, e não em -11. Portanto, confirmamos que o par ordenado (3, -1) não é uma solução para a equação dada. Essa descoberta é fundamental, pois nos impede de seguir adiante com uma premissa falsa. Em matemática, como na vida, é essencial construir sobre bases sólidas.

Mas e agora? O que fazemos com essa informação? Bem, podemos usar isso como um ponto de partida para explorar outras questões. Por exemplo, podemos nos perguntar: quais pares ordenados são soluções para essa equação? Ou, como podemos encontrar pares ordenados que satisfaçam essa equação? Essas perguntas nos levam a uma discussão mais profunda sobre equações lineares e suas soluções.

Encontrando Soluções para a Equação

Já vimos que o par ordenado (3, −1) não funciona, mas não vamos desanimar! Vamos descobrir como encontrar pares ordenados que realmente satisfaçam a equação 2x − 5y = −11. Para isso, podemos usar algumas estratégias bem legais. Uma delas é isolar uma das variáveis (x ou y) e expressá-la em termos da outra. Isso nos dará uma fórmula que podemos usar para gerar infinitas soluções.

Vamos isolar o x na equação:

2x − 5y = −11

Primeiro, adicionamos 5y a ambos os lados:

2x = 5y − 11

Agora, dividimos ambos os lados por 2:

x = (5y − 11) / 2

Show de bola! Agora temos uma expressão para x em termos de y. Isso significa que podemos escolher qualquer valor para y, substituir na fórmula e obter o valor correspondente de x. Cada par (x, y) que encontrarmos dessa forma será uma solução para a nossa equação. Vamos experimentar alguns valores para y:

• Se y = 1:

  x = (5*(1) − 11) / 2 = (5 − 11) / 2 = −6 / 2 = −3

  Então, o par ordenado (−3, 1) é uma solução.

• Se y = 3:

  x = (5*(3) − 11) / 2 = (15 − 11) / 2 = 4 / 2 = 2

  Então, o par ordenado (2, 3) é outra solução.

• Se y = −1 (já sabemos que (3, -1) não é solução, mas vamos usar para confirmar que a fórmula funciona):

  x = (5*(−1) − 11) / 2 = (−5 − 11) / 2 = −16 / 2 = −8

  Então, o par ordenado (−8, −1) é uma solução (e confirma que (3, -1) não é!).

Percebam, pessoal, que podemos continuar fazendo isso indefinidamente, gerando infinitos pares ordenados que satisfazem a equação. Isso porque equações lineares como essa representam retas no plano cartesiano, e retas se estendem infinitamente em ambas as direções.

Essa é a beleza da matemática! Uma única equação pode ter um número infinito de soluções, e podemos encontrá-las usando diferentes métodos e estratégias. Isolar uma variável é apenas uma das ferramentas que temos à nossa disposição. Existem outras abordagens, como usar gráficos ou sistemas de equações, que também podem nos ajudar a encontrar soluções.

Representação Gráfica da Equação

Agora que já entendemos como encontrar soluções para a equação 2x − 5y = −11, vamos dar um passo adiante e visualizar essa equação no plano cartesiano. A representação gráfica de uma equação linear é sempre uma reta, e essa reta contém todos os pontos (pares ordenados) que são soluções da equação. Visualizar a reta pode nos dar uma compreensão ainda maior do comportamento da equação e de suas soluções.

Para traçar a reta, precisamos de pelo menos dois pontos. Já encontramos alguns pares ordenados que são soluções: (−3, 1), (2, 3) e (−8, −1). Podemos usar quaisquer dois desses pontos para desenhar a reta. Vamos usar os pontos (−3, 1) e (2, 3) para o nosso exemplo.

1. Localize os pontos no plano cartesiano: Desenhe os eixos x e y e marque os pontos (−3, 1) e (2, 3). Lembrem-se, o primeiro número do par ordenado indica a posição no eixo x e o segundo número indica a posição no eixo y.
2. Trace a reta: Use uma régua para desenhar uma linha reta que passe pelos dois pontos. Essa reta é a representação gráfica da equação 2x − 5y = −11.

Se você traçar a reta corretamente, verá que ela se estende infinitamente em ambas as direções. Qualquer ponto que estiver sobre essa reta é uma solução para a equação. Isso significa que podemos pegar qualquer ponto na reta, ler suas coordenadas (x, y) e, ao substituir esses valores na equação, a igualdade será verdadeira.

A representação gráfica também nos ajuda a entender por que o par ordenado (3, −1) não é uma solução. Se você marcar o ponto (3, −1) no plano cartesiano, verá que ele não está sobre a reta que representa a equação 2x − 5y = −11. Isso é uma confirmação visual de que esse par ordenado não satisfaz a equação.

Além disso, a inclinação da reta nos dá informações sobre a relação entre x e y. No nosso caso, a reta tem uma inclinação positiva, o que significa que, à medida que x aumenta, y também aumenta (ou vice-versa). A inclinação pode ser calculada usando a fórmula (variação em y) / (variação em x) entre dois pontos da reta. Por exemplo, entre os pontos (−3, 1) e (2, 3), a inclinação é (3 − 1) / (2 − (−3)) = 2 / 5. Esse valor nos diz o quão "íngreme" é a reta e como x e y se relacionam.

Conclusão

Ufa! Chegamos ao fim da nossa jornada matemática. Exploramos o par ordenado (3, −1) e a equação 2x − 5y = −11 em detalhes. Descobrimos que o par ordenado (3, −1) não é uma solução para a equação, mas aprendemos como encontrar soluções válidas isolando uma variável e gerando pares ordenados. Também vimos como representar graficamente a equação como uma reta no plano cartesiano, o que nos deu uma compreensão visual das soluções.

Espero que este artigo tenha ajudado vocês a entenderem melhor como lidar com pares ordenados e equações lineares. Lembrem-se, a matemática é uma ferramenta poderosa que nos permite resolver problemas e entender o mundo ao nosso redor. Continuem explorando, perguntando e praticando, e vocês verão como a matemática pode ser fascinante e divertida! Se tiverem mais dúvidas ou quiserem explorar outros tópicos matemáticos, deixem seus comentários abaixo. Até a próxima, pessoal!