Cara Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Matematika

by ADMIN 51 views

Guys, pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang bentuknya pecahan tapi penyebutnya itu ada akarnya? Misalnya, kayak soal 3/√5. Nah, bentuk kayak gini tuh sebenarnya kurang enak dilihat dan biasanya dalam matematika kita diminta untuk merasionalkan penyebutnya. Apa sih maksudnya merasionalkan penyebut itu? Yuk, kita bahas tuntas!

Apa Itu Merasionalkan Penyebut?

Merasionalkan penyebut itu intinya adalah mengubah bentuk pecahan yang penyebutnya masih berupa akar menjadi bentuk pecahan yang penyebutnya bilangan rasional. Jadi, kita menghilangkan akar di bagian penyebut. Kenapa sih kita perlu melakukan ini? Ada beberapa alasan, di antaranya:

  • Memudahkan perhitungan: Bentuk akar di penyebut bisa bikin ribet saat kita mau melakukan operasi hitung lebih lanjut, misalnya penjumlahan atau pengurangan pecahan.
  • Standar penulisan matematika: Dalam matematika, bentuk pecahan dengan penyebut irasional dianggap kurang rapi dan kurang standar. Jadi, merasionalkan penyebut adalah cara kita untuk menuliskan jawaban dalam bentuk yang paling sederhana dan mudah dipahami.
  • Membandingkan nilai: Lebih mudah membandingkan nilai dua pecahan kalau penyebutnya sudah rasional.

Cara Merasionalkan Penyebut

Sekarang, gimana caranya kita merasionalkan penyebut? Tenang, caranya gak sesulit yang dibayangkan kok. Ada beberapa teknik yang bisa kita gunakan, tergantung dari bentuk penyebutnya. Mari kita bahas satu per satu:

1. Penyebut Berbentuk √a

Ini adalah bentuk penyebut yang paling sederhana. Caranya, kita tinggal mengalikan pecahan tersebut dengan √a/√a. Ingat ya, √a/√a itu sama dengan 1, jadi kita sebenarnya tidak mengubah nilai pecahan tersebut, hanya mengubah bentuknya saja. Mari kita lihat contoh soal 3/√5 yang tadi:

Langkah 1: Kalikan pecahan dengan √5/√5

(3/√5) * (√5/√5)

Langkah 2: Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut

(3 * √5) / (√5 * √5)

Langkah 3: Sederhanakan

3√5 / 5

Nah, sekarang penyebutnya sudah jadi 5, yang merupakan bilangan rasional. Jadi, bentuk rasional dari 3/√5 adalah 3√5 / 5.

2. Penyebut Berbentuk a√b

Kalau penyebutnya berbentuk a√b, caranya mirip dengan sebelumnya. Kita kalikan pecahan dengan √b/√b. Jadi, kita fokus menghilangkan akar yang ada di penyebut. Contohnya, kita punya pecahan 5/(2√3):

Langkah 1: Kalikan pecahan dengan √3/√3

(5 / (2√3)) * (√3/√3)

Langkah 2: Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut

(5 * √3) / (2 * √3 * √3)

Langkah 3: Sederhanakan

5√3 / (2 * 3)

5√3 / 6

Jadi, bentuk rasional dari 5/(2√3) adalah 5√3 / 6.

3. Penyebut Berbentuk (a + √b) atau (a - √b)

Nah, kalau penyebutnya berbentuk seperti ini, kita menggunakan konsep sekawan. Sekawan dari (a + √b) adalah (a - √b), dan sebaliknya. Kita kalikan pecahan dengan sekawan dari penyebutnya. Tujuannya adalah untuk menghilangkan akar dengan menggunakan identitas (a + b)(a - b) = a² - b². Misalnya, kita punya pecahan 2/(3 + √2):

Langkah 1: Tentukan sekawan dari penyebut. Sekawan dari (3 + √2) adalah (3 - √2).

Langkah 2: Kalikan pecahan dengan (3 - √2) / (3 - √2)

(2 / (3 + √2)) * ((3 - √2) / (3 - √2))

Langkah 3: Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut

(2 * (3 - √2)) / ((3 + √2) * (3 - √2))

Langkah 4: Sederhanakan

(6 - 2√2) / (3² - (√2)²)

(6 - 2√2) / (9 - 2)

(6 - 2√2) / 7

Jadi, bentuk rasional dari 2/(3 + √2) adalah (6 - 2√2) / 7.

4. Penyebut Berbentuk (√a + √b) atau (√a - √b)

Caranya mirip dengan sebelumnya, kita gunakan konsep sekawan. Sekawan dari (√a + √b) adalah (√a - √b), dan sebaliknya. Contohnya, kita punya pecahan 1/(√5 - √3):

Langkah 1: Tentukan sekawan dari penyebut. Sekawan dari (√5 - √3) adalah (√5 + √3).

Langkah 2: Kalikan pecahan dengan (√5 + √3) / (√5 + √3)

(1 / (√5 - √3)) * ((√5 + √3) / (√5 + √3))

Langkah 3: Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut

(1 * (√5 + √3)) / ((√5 - √3) * (√5 + √3))

Langkah 4: Sederhanakan

(√5 + √3) / ((√5)² - (√3)²)

(√5 + √3) / (5 - 3)

(√5 + √3) / 2

Jadi, bentuk rasional dari 1/(√5 - √3) adalah (√5 + √3) / 2.

Tips dan Trik

  • Perhatikan bentuk penyebut: Kenali dulu bentuk penyebutnya sebelum menentukan cara merasionalkan yang tepat.
  • Gunakan sekawan: Jika penyebutnya berbentuk (a + √b) atau (a - √b), atau (√a + √b) atau (√a - √b), jangan lupa gunakan konsep sekawan.
  • Sederhanakan: Setelah merasionalkan penyebut, selalu sederhanakan hasilnya jika memungkinkan.
  • Latihan: Semakin banyak latihan, semakin mahir kamu dalam merasionalkan penyebut.

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar makin paham, yuk kita bahas beberapa contoh soal:

Soal 1: Rasionalkan penyebut dari 4/√7

Pembahasan:

Kita kalikan dengan √7/√7

(4/√7) * (√7/√7) = 4√7 / 7

Jadi, bentuk rasionalnya adalah 4√7 / 7.

Soal 2: Rasionalkan penyebut dari 6/(2 - √3)

Pembahasan:

Sekawan dari (2 - √3) adalah (2 + √3)

(6 / (2 - √3)) * ((2 + √3) / (2 + √3))

= (6 * (2 + √3)) / ((2 - √3) * (2 + √3))

= (12 + 6√3) / (4 - 3)

= 12 + 6√3

Jadi, bentuk rasionalnya adalah 12 + 6√3.

Soal 3: Rasionalkan penyebut dari (√2 + 1) / (√2 - 1)

Pembahasan:

Sekawan dari (√2 - 1) adalah (√2 + 1)

((√2 + 1) / (√2 - 1)) * ((√2 + 1) / (√2 + 1))

= ((√2 + 1) * (√2 + 1)) / ((√2 - 1) * (√2 + 1))

= (2 + 2√2 + 1) / (2 - 1)

= 3 + 2√2

Jadi, bentuk rasionalnya adalah 3 + 2√2.

Kesimpulan

Merasionalkan penyebut adalah keterampilan penting dalam matematika. Dengan menguasai teknik ini, kamu akan lebih mudah dalam mengerjakan soal-soal yang melibatkan bentuk akar. Ingat, kuncinya adalah memahami bentuk penyebut dan menggunakan cara yang tepat, serta jangan lupa untuk selalu menyederhanakan hasilnya. Semangat terus belajar ya, guys!

Semoga panduan ini bermanfaat dan membantu kalian dalam memahami cara merasionalkan penyebut. Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya ya!