Fórmula Da Sequência Aritmética Com A4 = 24 E A9 = 79 Passo A Passo

Introdução

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar no fascinante mundo das sequências aritméticas e desvendar um problema superinteressante. Imagine o seguinte: temos uma sequência numérica onde a diferença entre cada termo é sempre a mesma. Essa é a essência de uma sequência aritmética! E o desafio de hoje é encontrar a fórmula que define essa sequência, sabendo que o quarto termo é 24 e o nono termo é 79. Parece complicado? Calma, que vamos descomplicar juntos! Preparem-se para uma jornada matemática cheia de descobertas e aprendizado. Vamos nessa!

O Que São Sequências Aritméticas?

Antes de mais nada, vamos relembrar o que são as famosas sequências aritméticas. Uma sequência aritmética é uma lista de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da sequência. Por exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11, 14..., a razão é 3, pois somamos 3 a cada termo para obter o próximo. Sacou? Agora, imagine que temos uma sequência misteriosa, onde só conhecemos alguns termos. Nosso objetivo é encontrar a fórmula que gera todos os termos dessa sequência. Essa fórmula é geralmente expressa na forma an = a1 + (n - 1) * r, onde:

• an é o n-ésimo termo da sequência
• a1 é o primeiro termo
• n é a posição do termo na sequência
• r é a razão da sequência

Com essa fórmula em mãos, podemos desvendar qualquer sequência aritmética! Mas como aplicar isso ao nosso problema? Continue lendo para descobrir!

O Problema em Detalhes: Quarto Termo e Nono Termo

No nosso desafio, temos duas pistas valiosas: o quarto termo da sequência é 24 e o nono termo é 79. Essas informações são como peças de um quebra-cabeça que nos levarão à fórmula mágica. Vamos anotar essas informações de forma organizada:

• a4 = 24 (o quarto termo é 24)
• a9 = 79 (o nono termo é 79)

Com esses dados, podemos montar um plano para encontrar a fórmula. Primeiro, precisamos descobrir a razão da sequência. Para isso, vamos usar a informação de que a diferença entre dois termos é sempre a mesma. Pensem comigo: quantos "saltos" temos do quarto termo para o nono termo? Cinco saltos! E qual é a diferença entre esses termos? 79 - 24 = 55. Então, esses cinco saltos correspondem a uma diferença de 55. Para encontrar a razão, basta dividir essa diferença pelo número de saltos: 55 / 5 = 11. Bingo! A razão da nossa sequência é 11. Agora que temos a razão, podemos usar a fórmula geral para encontrar o primeiro termo e, finalmente, a fórmula da sequência. Vamos em frente!

Desvendando a Fórmula: Passo a Passo

Encontrando a Razão da Sequência

Como vimos, a razão da sequência é a chave para desvendar a fórmula. Já descobrimos que a razão é 11, mas vamos reforçar esse conceito para que não restem dúvidas. A razão é a diferença constante entre os termos da sequência. No nosso caso, sabemos que a9 = 79 e a4 = 24. A diferença entre esses termos é 79 - 24 = 55. Essa diferença corresponde a cinco vezes a razão (já que pulamos cinco termos do quarto para o nono). Portanto, a razão (r) é 55 / 5 = 11. Agora que temos a razão, podemos avançar para o próximo passo: encontrar o primeiro termo da sequência.

Calculando o Primeiro Termo (a1)

Para encontrar o primeiro termo (a1), podemos usar a fórmula geral da sequência aritmética e as informações que já temos. Sabemos que a4 = 24 e r = 11. A fórmula geral é: an = a1 + (n - 1) * r. Vamos substituir os valores conhecidos para o quarto termo (n = 4):

24 = a1 + (4 - 1) * 11

Agora, é só resolver a equação para encontrar a1:

24 = a1 + 3 * 11 24 = a1 + 33 a1 = 24 - 33 a1 = -9

Pronto! Descobrimos que o primeiro termo da sequência é -9. Com o primeiro termo e a razão em mãos, estamos prontos para montar a fórmula da sequência. Vamos lá!

Montando a Fórmula da Sequência

Agora que temos o primeiro termo (a1 = -9) e a razão (r = 11), podemos finalmente montar a fórmula da sequência aritmética. A fórmula geral é: an = a1 + (n - 1) * r. Vamos substituir os valores que encontramos:

an = -9 + (n - 1) * 11

Para simplificar a fórmula, vamos distribuir o 11:

an = -9 + 11n - 11

E, finalmente, combinar os termos constantes:

an = 11n - 20

Essa é a fórmula da nossa sequência! 🎉 Agora, podemos encontrar qualquer termo da sequência apenas substituindo o valor de n. Mas será que essa fórmula está correta? Vamos verificar!

Verificando a Fórmula e Encontrando a Resposta

Testando a Fórmula com os Dados Iniciais

Para garantir que nossa fórmula está correta, vamos testá-la com os dados iniciais do problema: o quarto termo (a4 = 24) e o nono termo (a9 = 79). Se a fórmula funcionar para esses termos, teremos mais confiança de que ela está correta. Vamos começar com o quarto termo (n = 4):

a4 = 11 * 4 - 20 a4 = 44 - 20 a4 = 24

Perfeito! A fórmula funciona para o quarto termo. Agora, vamos testar com o nono termo (n = 9):

a9 = 11 * 9 - 20 a9 = 99 - 20 a9 = 79

Incrível! A fórmula também funciona para o nono termo. Isso nos dá uma grande segurança de que encontramos a fórmula correta. Mas e as alternativas do problema? Qual delas corresponde à nossa fórmula?

Analisando as Alternativas e Encontrando a Resposta Correta

O problema nos apresentou quatro alternativas de fórmulas para a sequência:

a) 5n + 19 b) 3n + 15 c) 4n + 8 d) 11n - 20

Comparando as alternativas com a fórmula que encontramos (an = 11n - 20), vemos que a alternativa d) 11n - 20 é a correta! 🎉 Conseguimos desvendar o mistério da sequência aritmética e encontrar a fórmula que a define. Mas a jornada não termina aqui! Vamos justificar nossa resposta para deixar tudo ainda mais claro.

Justificativa Detalhada da Resposta

Explicando o Processo Passo a Passo

Para justificar nossa resposta, vamos recapitular o processo que seguimos para encontrar a fórmula da sequência aritmética. Primeiro, identificamos que a sequência era aritmética e que a diferença entre os termos era constante. Em seguida, usamos as informações do quarto termo (a4 = 24) e do nono termo (a9 = 79) para encontrar a razão da sequência. Descobrimos que a razão era 11, dividindo a diferença entre os termos (55) pelo número de "saltos" entre eles (5). Com a razão em mãos, usamos a fórmula geral da sequência aritmética (an = a1 + (n - 1) * r) para encontrar o primeiro termo (a1). Substituindo os valores conhecidos para o quarto termo, encontramos a1 = -9. Finalmente, com o primeiro termo e a razão, montamos a fórmula da sequência: an = -9 + (n - 1) * 11. Simplificando a fórmula, chegamos a an = 11n - 20. Para verificar se a fórmula estava correta, testamos com os dados iniciais (a4 = 24 e a9 = 79) e confirmamos que ela funcionava. Comparando a fórmula com as alternativas, identificamos que a alternativa d) 11n - 20 era a correta.

Por Que as Outras Alternativas Estão Incorretas?

Para deixar a justificativa ainda mais completa, vamos explicar por que as outras alternativas estão incorretas. Para isso, podemos testar cada alternativa com os dados iniciais do problema. Se a alternativa não funcionar para o quarto termo e o nono termo, podemos descartá-la. Vamos começar com a alternativa a) 5n + 19:

• Para n = 4: 5 * 4 + 19 = 39 (diferente de 24)
• Para n = 9: 5 * 9 + 19 = 64 (diferente de 79)

A alternativa a) está incorreta. Agora, vamos testar a alternativa b) 3n + 15:

• Para n = 4: 3 * 4 + 15 = 27 (diferente de 24)
• Para n = 9: 3 * 9 + 15 = 42 (diferente de 79)

A alternativa b) também está incorreta. E, por fim, vamos testar a alternativa c) 4n + 8:

• Para n = 4: 4 * 4 + 8 = 24 (correto para o quarto termo)
• Para n = 9: 4 * 9 + 8 = 44 (diferente de 79)

A alternativa c) funciona para o quarto termo, mas não para o nono, então também está incorreta. Como vimos, apenas a alternativa d) 11n - 20 funciona para os dois termos, confirmando que é a fórmula correta.

Conclusão: Dominando as Sequências Aritméticas

E aí, pessoal! Chegamos ao fim da nossa jornada matemática e desvendamos o mistério da sequência aritmética. Vimos como identificar uma sequência aritmética, como encontrar a razão e o primeiro termo, e como montar a fórmula que define a sequência. Além disso, aprendemos a verificar a fórmula e a justificar nossa resposta de forma clara e detalhada. Espero que este guia tenha sido útil e que vocês se sintam mais confiantes para resolver problemas de sequências aritméticas. Lembrem-se: a matemática pode ser desafiadora, mas com dedicação e os conceitos certos, podemos superar qualquer obstáculo. Continuem praticando e explorando o mundo fascinante dos números! 😉