Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Cara Mencari Dan Contoh Soal

by ADMIN 68 views

Sistem persamaan linear adalah salah satu materi penting dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai aplikasi, mulai dari soal-soal ujian hingga permasalahan di dunia nyata. Nah, buat kalian yang lagi belajar tentang ini, yuk kita bahas tuntas tentang himpunan penyelesaian sistem persamaan, mulai dari cara mencarinya sampai contoh-contoh soalnya. Dijamin, setelah baca artikel ini, kalian bakal makin jago deh!

Apa Itu Sistem Persamaan?

Sebelum kita membahas lebih jauh tentang himpunan penyelesaian sistem persamaan, ada baiknya kita pahami dulu apa itu sistem persamaan. Secara sederhana, sistem persamaan adalah kumpulan dari dua persamaan atau lebih yang memiliki variabel yang sama. Tujuannya adalah mencari nilai variabel-variabel tersebut yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut secara bersamaan.

Misalnya, kita punya dua persamaan:

  1. x + y = 5
  2. 2x - y = 1

Nah, ini adalah contoh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Kita punya dua variabel, yaitu x dan y, dan kita ingin mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Nilai x dan y yang memenuhi inilah yang disebut sebagai himpunan penyelesaian sistem persamaan.

Cara Mencari Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan

Ada beberapa metode yang bisa kita gunakan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan. Masing-masing metode punya kelebihan dan kekurangannya sendiri. Jadi, penting untuk memahami semuanya supaya kita bisa memilih metode yang paling tepat untuk soal yang sedang kita kerjakan. Berikut adalah beberapa metode yang umum digunakan:

1. Metode Grafik

Metode grafik adalah cara mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan dengan menggambarkan grafik dari setiap persamaan dalam sistem tersebut. Titik potong dari grafik-grafik tersebut adalah himpunan penyelesaian sistem persamaan. Metode ini sangat visual dan mudah dipahami, terutama untuk sistem persamaan linear dua variabel. Tapi, metode ini kurang akurat untuk sistem persamaan yang solusinya bukan bilangan bulat atau pecahan sederhana.

Langkah-langkah Metode Grafik:

  1. Gambar grafik setiap persamaan: Ubah setiap persamaan ke dalam bentuk y = mx + c (bentuk umum persamaan garis lurus). Kemudian, tentukan beberapa titik yang memenuhi persamaan tersebut dan gambarkan garisnya pada bidang koordinat.
  2. Cari titik potong: Titik potong dari garis-garis tersebut adalah himpunan penyelesaian sistem persamaan. Koordinat titik potong tersebut merupakan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan.

Contoh:

Misalkan kita punya sistem persamaan:

  1. x + y = 5
  2. x - y = 1

Untuk menggambarkan grafiknya, kita ubah dulu kedua persamaan ke dalam bentuk y = mx + c:

  1. y = 5 - x
  2. y = x - 1

Kemudian, kita tentukan beberapa titik yang memenuhi setiap persamaan:

Persamaan 1 (y = 5 - x):

  • Jika x = 0, maka y = 5 (titik (0, 5))
  • Jika x = 5, maka y = 0 (titik (5, 0))

Persamaan 2 (y = x - 1):

  • Jika x = 0, maka y = -1 (titik (0, -1))
  • Jika x = 1, maka y = 0 (titik (1, 0))

Setelah kita gambarkan kedua garis tersebut pada bidang koordinat, kita akan melihat bahwa kedua garis berpotongan di titik (3, 2). Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan ini adalah x = 3 dan y = 2.

2. Metode Substitusi

Metode substitusi adalah cara mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu variabel dalam suatu persamaan dengan ekspresi yang setara dari persamaan lain. Metode ini sangat berguna ketika salah satu persamaan sudah dinyatakan dalam bentuk eksplisit (misalnya, y = ... atau x = ...).

Langkah-langkah Metode Substitusi:

  1. Pilih salah satu persamaan: Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah ke dalam bentuk eksplisit (misalnya, y = ... atau x = ...).
  2. Nyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain: Ubah persamaan yang dipilih di langkah 1 sehingga salah satu variabel dinyatakan dalam bentuk variabel lain. Misalnya, jika kita memilih persamaan x + y = 5, kita bisa mengubahnya menjadi y = 5 - x.
  3. Substitusikan: Substitusikan ekspresi yang diperoleh di langkah 2 ke dalam persamaan lain. Misalnya, jika kita punya y = 5 - x, kita substitusikan ini ke dalam persamaan 2x - y = 1.
  4. Selesaikan persamaan: Selesaikan persamaan yang diperoleh di langkah 3. Persamaan ini hanya akan memiliki satu variabel, sehingga kita bisa mencari nilai variabel tersebut.
  5. Substitusikan kembali: Substitusikan nilai variabel yang diperoleh di langkah 4 ke dalam salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel yang lain.

Contoh:

Misalkan kita punya sistem persamaan:

  1. x + y = 5
  2. 2x - y = 1

Kita pilih persamaan 1 (x + y = 5) karena mudah diubah ke dalam bentuk eksplisit:

y = 5 - x

Kemudian, kita substitusikan y = 5 - x ke dalam persamaan 2:

2x - (5 - x) = 1

2x - 5 + x = 1

3x = 6

x = 2

Setelah kita dapat x = 2, kita substitusikan kembali ke dalam persamaan y = 5 - x:

y = 5 - 2

y = 3

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan ini adalah x = 2 dan y = 3.

3. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah cara mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel. Caranya adalah dengan mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta tertentu sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama atau berlawanan. Kemudian, kita bisa menjumlahkan atau mengurangkan persamaan-persamaan tersebut untuk menghilangkan variabel tersebut.

Langkah-langkah Metode Eliminasi:

  1. Perhatikan koefisien: Perhatikan koefisien variabel-variabel dalam sistem persamaan. Pilih variabel yang akan dieliminasi.
  2. Samakan atau lawankan koefisien: Kalikan persamaan-persamaan dengan konstanta tertentu sehingga koefisien variabel yang dipilih di langkah 1 menjadi sama atau berlawanan.
  3. Jumlahkan atau kurangkan persamaan: Jika koefisien variabel yang dipilih sama, kurangkan persamaan-persamaan tersebut. Jika koefisien variabel yang dipilih berlawanan, jumlahkan persamaan-persamaan tersebut. Tujuannya adalah untuk menghilangkan variabel tersebut.
  4. Selesaikan persamaan: Selesaikan persamaan yang diperoleh di langkah 3. Persamaan ini hanya akan memiliki satu variabel, sehingga kita bisa mencari nilai variabel tersebut.
  5. Substitusikan kembali: Substitusikan nilai variabel yang diperoleh di langkah 4 ke dalam salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel yang lain.

Contoh:

Misalkan kita punya sistem persamaan:

  1. x + y = 5
  2. 2x - y = 1

Kita akan mengeliminasi variabel y. Perhatikan bahwa koefisien y pada persamaan 1 adalah 1 dan koefisien y pada persamaan 2 adalah -1. Jadi, koefisien y sudah berlawanan. Kita bisa langsung menjumlahkan kedua persamaan:

(x + y) + (2x - y) = 5 + 1

3x = 6

x = 2

Setelah kita dapat x = 2, kita substitusikan kembali ke dalam persamaan 1:

2 + y = 5

y = 3

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan ini adalah x = 2 dan y = 3.

Contoh Soal dan Pembahasan

Supaya kalian makin paham, yuk kita bahas beberapa contoh soal tentang himpunan penyelesaian sistem persamaan:

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut:

  1. 3x + 2y = 8
  2. x - y = 1

Pembahasan:

Kita bisa menggunakan metode eliminasi. Kita akan mengeliminasi variabel x. Untuk itu, kita kalikan persamaan 2 dengan 3:

  1. 3x + 2y = 8
  2. 3(x - y) = 3(1) --> 3x - 3y = 3

Kemudian, kita kurangkan persamaan 1 dengan persamaan 2:

(3x + 2y) - (3x - 3y) = 8 - 3

5y = 5

y = 1

Setelah kita dapat y = 1, kita substitusikan kembali ke dalam persamaan 2:

x - 1 = 1

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan ini adalah x = 2 dan y = 1.

Contoh Soal 2:

Harga 2 buah buku dan 3 buah pensil adalah Rp19.000,00. Harga 3 buah buku dan 1 buah pensil adalah Rp16.500,00. Tentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil.

Pembahasan:

Misalkan harga sebuah buku adalah x dan harga sebuah pensil adalah y. Kita bisa membuat sistem persamaan berikut:

  1. 2x + 3y = 19.000
  2. 3x + y = 16.500

Kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Kali ini, kita akan menggunakan metode substitusi. Kita ubah persamaan 2 menjadi:

y = 16.500 - 3x

Kemudian, kita substitusikan ini ke dalam persamaan 1:

2x + 3(16.500 - 3x) = 19.000

2x + 49.500 - 9x = 19.000

-7x = -30.500

x = 4.357,14 (dibulatkan menjadi 4.357)

Setelah kita dapat x = 4.357, kita substitusikan kembali ke dalam persamaan y = 16.500 - 3x:

y = 16.500 - 3(4.357)

y = 16.500 - 13.071

y = 3.429

Jadi, harga sebuah buku adalah sekitar Rp4.357,00 dan harga sebuah pensil adalah sekitar Rp3.429,00.

Contoh Soal 3:

Diketahui sistem persamaan:

  1. x + 2y = 7
  2. 2x + 4y = 14

Apakah sistem persamaan ini memiliki solusi? Jika iya, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa persamaan 2 adalah kelipatan dari persamaan 1. Jika kita kalikan persamaan 1 dengan 2, kita akan mendapatkan persamaan 2. Ini berarti kedua persamaan tersebut sebenarnya merepresentasikan garis yang sama. Jadi, sistem persamaan ini memiliki tak hingga banyak solusi. Setiap titik yang terletak pada garis x + 2y = 7 adalah solusi dari sistem persamaan ini.

Untuk menyatakan himpunan penyelesaian sistem persamaan ini, kita bisa menuliskan:

{(x, y) | x + 2y = 7}

Ini berarti himpunan penyelesaian sistem persamaan ini adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan x + 2y = 7.

Kesimpulan

Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang himpunan penyelesaian sistem persamaan. Kita sudah belajar tentang apa itu sistem persamaan, cara mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan dengan metode grafik, substitusi, dan eliminasi, serta contoh-contoh soalnya. Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian yang lagi belajar matematika ya! Jangan lupa terus berlatih soal supaya makin jago.