Menentukan Suku Ke-18 Dan Jumlah 12 Suku Pertama Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika, sebuah konsep dasar dalam matematika, sering muncul dalam berbagai soal dan aplikasi. Kali ini, kita akan membahas cara menentukan suku ke-18 dan jumlah 12 suku pertama dari suatu barisan aritmatika. Soal ini melibatkan pemahaman tentang rumus umum suku ke-n dan jumlah n suku pertama dalam barisan aritmatika. Mari kita pecahkan soal ini bersama-sama!
Memahami Barisan Aritmatika
Sebelum kita mulai menghitung, penting untuk memahami apa itu barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah urutan bilangan di mana selisih antara suku-suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tetap ini disebut beda barisan aritmatika, yang biasanya dilambangkan dengan b. Suku pertama barisan aritmatika dilambangkan dengan a. Dengan pemahaman ini, kita siap untuk melangkah lebih jauh dalam menyelesaikan soal.
Rumus umum suku ke-n (Un) dalam barisan aritmatika adalah:
Un = a + (n - 1)b
Di mana:
- Un adalah suku ke-n
- a adalah suku pertama
- n adalah nomor suku
- b adalah beda
Sedangkan rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn) adalah:
Sn = n/2 [2a + (n - 1)b]
Dengan kedua rumus ini, kita dapat menemukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika jika kita mengetahui suku pertama (a) dan beda (b). Pada bagian selanjutnya, kita akan menggunakan informasi yang diberikan dalam soal untuk mencari nilai a dan b.
Menentukan Suku Pertama (a) dan Beda (b)
Dalam soal ini, kita diberikan informasi bahwa suku ke-2 (U2) adalah 14 dan suku ke-4 (U4) adalah 6. Kita dapat menggunakan informasi ini untuk membentuk dua persamaan linear dan menyelesaikan sistem persamaan tersebut untuk mencari nilai a dan b. Ini adalah langkah penting karena tanpa nilai a dan b, kita tidak dapat menentukan suku ke-18 maupun jumlah 12 suku pertama.
Dari rumus umum suku ke-n, kita dapat menuliskan dua persamaan berikut:
- U2 = a + (2 - 1)b = a + b = 14
- U4 = a + (4 - 1)b = a + 3b = 6
Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear dua variabel:
a + b = 14
a + 3b = 6
Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi. Kita kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
(a + 3b) - (a + b) = 6 - 14
2b = -8
b = -4
Kita telah menemukan bahwa beda (b) adalah -4. Sekarang kita dapat mensubstitusikan nilai b ini ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai a. Mari kita substitusikan ke persamaan pertama:
a + (-4) = 14
a = 14 + 4
a = 18
Jadi, suku pertama (a) adalah 18 dan beda (b) adalah -4. Dengan nilai a dan b ini, kita sekarang dapat menghitung suku ke-18 dan jumlah 12 suku pertama.
Menghitung Suku Ke-18 (U18)
Setelah kita mengetahui suku pertama (a) dan beda (b), kita dapat dengan mudah menghitung suku ke-18 (U18) menggunakan rumus umum suku ke-n. Ini adalah langkah penting karena kita akan menjawab salah satu pertanyaan utama dalam soal. Guys, ini adalah bagian yang menyenangkan karena kita akan melihat bagaimana rumus bekerja dalam praktik.
Rumus suku ke-n adalah:
Un = a + (n - 1)b
Untuk mencari U18, kita substitusikan n dengan 18, a dengan 18, dan b dengan -4:
U18 = 18 + (18 - 1)(-4)
U18 = 18 + (17)(-4)
U18 = 18 - 68
U18 = -50
Jadi, suku ke-18 dari barisan aritmatika ini adalah -50. Sekarang kita telah menemukan salah satu jawaban yang kita cari. Selanjutnya, kita akan menghitung jumlah 12 suku pertama.
Menghitung Jumlah 12 Suku Pertama (S12)
Sekarang, mari kita hitung jumlah 12 suku pertama (S12) dari barisan aritmatika ini. Kita akan menggunakan rumus jumlah n suku pertama. Ini adalah bagian penting lainnya dari soal, dan dengan rumus yang tepat, kita akan menemukan jawabannya dengan mudah. Jadi, tetaplah bersama saya!
Rumus jumlah n suku pertama adalah:
Sn = n/2 [2a + (n - 1)b]
Untuk mencari S12, kita substitusikan n dengan 12, a dengan 18, dan b dengan -4:
S12 = 12/2 [2(18) + (12 - 1)(-4)]
S12 = 6 [36 + (11)(-4)]
S12 = 6 [36 - 44]
S12 = 6 [-8]
S12 = -48
Jadi, jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmatika ini adalah -48. Kita telah berhasil menemukan jawaban kedua yang kita cari. Dengan ini, kita telah menyelesaikan semua bagian dari soal.
Kesimpulan
Dalam pembahasan ini, kita telah berhasil menemukan suku ke-18 dan jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmatika yang diberikan. Kita mulai dengan memahami konsep dasar barisan aritmatika dan rumus-rumus yang terkait. Kemudian, kita menggunakan informasi yang diberikan untuk membentuk sistem persamaan linear dan menemukan suku pertama (a) dan beda (b). Setelah itu, kita menggunakan rumus umum suku ke-n untuk menghitung suku ke-18 dan rumus jumlah n suku pertama untuk menghitung jumlah 12 suku pertama.
Soal ini menunjukkan pentingnya pemahaman konsep dasar dan kemampuan menerapkan rumus dengan tepat. Guys, matematika memang membutuhkan latihan dan ketelitian, tetapi dengan pemahaman yang baik, kita dapat menyelesaikan berbagai soal dengan percaya diri. Jadi, teruslah belajar dan berlatih, dan jangan ragu untuk bertanya jika ada yang kurang jelas. Sampai jumpa di pembahasan soal matematika lainnya!
