Resolvendo An = 3n + 2 Descubra O Valor De N Passo A Passo

Ei, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar no mundo fascinante das sequências matemáticas e desvendar o valor de 'n' na sequência an = 3n + 2. Se você já se sentiu perdido em meio a fórmulas e letras, relaxa! Este guia foi feito sob medida para você, com uma linguagem clara, exemplos práticos e um passo a passo que vai te transformar em um mestre das sequências. Prepare-se para uma jornada de descobertas e aprendizado!

O Que São Sequências Numéricas?

Antes de tudo, vamos entender o que são essas tais sequências numéricas. Sequências numéricas são, basicamente, listas ordenadas de números que seguem um padrão ou regra específica. Cada número na sequência é chamado de termo, e a posição desse termo na sequência é identificada por um número natural (1, 2, 3, ...). Essa regra, geralmente expressa por uma fórmula, permite que a gente determine qualquer termo da sequência, desde que saibamos sua posição.

As sequências estão por toda parte na matemática e no nosso dia a dia. Imagine, por exemplo, a sequência dos números pares (2, 4, 6, 8, ...) ou a sequência dos múltiplos de 5 (5, 10, 15, 20, ...). Cada uma dessas sequências tem sua própria regra, que define como os números se relacionam entre si. No nosso caso, a sequência an = 3n + 2 é definida pela fórmula que vamos explorar em detalhes.

Desvendando a Fórmula an = 3n + 2

A fórmula an = 3n + 2 é a chave para entendermos nossa sequência. Essa fórmula nos diz como calcular qualquer termo da sequência (an) a partir da sua posição (n). Vamos analisar cada parte dessa fórmula para que tudo fique cristalino:

• an: Representa o termo da sequência que queremos encontrar. O 'n' no subscrito indica a posição desse termo. Por exemplo, a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, e assim por diante.
• 3n: Significa 3 vezes o valor de 'n'. Aqui, 'n' é a posição do termo na sequência. Então, se quisermos encontrar o terceiro termo (a3), vamos multiplicar 3 por 3.
• + 2: Significa que, depois de multiplicar 3 por 'n', somamos 2 ao resultado. Essa adição é crucial para definir o padrão específico da nossa sequência.

Para ficar ainda mais claro, vamos calcular alguns termos da sequência an = 3n + 2:

• a1 (primeiro termo):
  • n = 1
  • a1 = 3 * 1 + 2
  • a1 = 3 + 2
  • a1 = 5
• a2 (segundo termo):
  • n = 2
  • a2 = 3 * 2 + 2
  • a2 = 6 + 2
  • a2 = 8
• a3 (terceiro termo):
  • n = 3
  • a3 = 3 * 3 + 2
  • a3 = 9 + 2
  • a3 = 11

Percebeu o padrão? A sequência começa com 5, depois 8, depois 11, e assim por diante. Cada termo é obtido multiplicando a sua posição por 3 e somando 2. Agora que entendemos a fórmula, podemos avançar para o nosso desafio principal: encontrar o valor de 'n'.

Encontrando o Valor de 'n': O Desafio Principal

A grande questão que vamos responder é: como encontrar o valor de 'n' dado um termo específico da sequência? Em outras palavras, se eu te disser que um termo da sequência an = 3n + 2 é igual a 23, como você faria para descobrir qual é a posição desse termo na sequência (ou seja, qual é o valor de 'n')? É aqui que a álgebra entra em cena para nos ajudar!

A Álgebra como Nossa Aliada

Para encontrar o valor de 'n', vamos usar nossas habilidades de álgebra para manipular a fórmula an = 3n + 2. O objetivo é isolar o 'n' em um lado da equação, de forma que possamos determinar seu valor. Vamos seguir um passo a passo para tornar esse processo o mais simples possível:

1. Substitua an pelo valor conhecido: Se sabemos que um termo da sequência é igual a 23, por exemplo, substituímos 'an' por 23 na fórmula. Isso nos dá a equação 23 = 3n + 2.
2. Isole o termo com 'n': Para isolar o termo 3n, precisamos nos livrar do '+ 2'. Fazemos isso subtraindo 2 de ambos os lados da equação. Isso mantém a igualdade e nos dá: 23 - 2 = 3n + 2 - 2, que simplifica para 21 = 3n.
3. Isole o 'n': Agora, para isolar o 'n', precisamos nos livrar do '3' que está multiplicando. Fazemos isso dividindo ambos os lados da equação por 3. Isso nos dá: 21 / 3 = 3n / 3, que simplifica para 7 = n.
4. Solução: Encontramos o valor de 'n'! No nosso exemplo, n = 7. Isso significa que o termo 23 é o sétimo termo da sequência an = 3n + 2.

Exemplo Prático: Encontrando 'n' para an = 38

Vamos praticar com mais um exemplo para garantir que tudo esteja claro. Suponha que queremos encontrar o valor de 'n' para an = 38 na sequência an = 3n + 2. Vamos seguir os mesmos passos:

1. Substitua an por 38: 38 = 3n + 2
2. Isole o termo com 'n': 38 - 2 = 3n + 2 - 2, que simplifica para 36 = 3n
3. Isole o 'n': 36 / 3 = 3n / 3, que simplifica para 12 = n
4. Solução: n = 12. Portanto, o termo 38 é o décimo segundo termo da sequência.

Com esses passos simples, você pode encontrar o valor de 'n' para qualquer termo da sequência an = 3n + 2. A chave é entender a fórmula e usar a álgebra a seu favor. Agora, vamos explorar algumas aplicações práticas desse conhecimento.

Aplicações Práticas: Onde Usamos Isso?

Você pode estar se perguntando: